陈晓平：意外考试悖论及其解决――兼论求婚者悖论和双信封悖论

内容摘要：悖论被分为四种，即一阶客观描述悖论、二阶客观描述悖论、一阶主体操作悖论和二阶主体操作悖论。意外考试悖论、求婚者悖论、双信封悖论等属于二阶主体操作悖论，对它们可以统一地给以二阶操作性解决。这些悖论通常被归入认知悖论，而“认知悖论”是一个比较含糊的概念，它本身并无独立的地位，因而它要么被归入语义悖论，要么被归入操作悖论。对于语义悖论，通过对其语义规则加以限制可以给以弱的解决。对于操作悖论，不仅可以给出弱的解决，还可给出强的解决。

本文将对若干相关的悖论加以探讨，并给以一揽子解决。这些悖论在文献中已有不少讨论，通常被归入“认知悖论”（epistemic paradoxes），对它们的“解决”不仅技术比较复杂，而且至今没有得到一个公认的令人满意的方案。笔者不赞赏这类“解决”，一方面其结论有着明显的缺陷，另一方面，其技术上的复杂性并非必要。情况之所以如此，根本原因在于把这些悖论归于“认知悖论”，进而在“知道”或“相信”的符号化及其推理上大做文章，离人们的直觉相去甚远，这便走了弯路，犯了方向性的错误。与之不同，本文把这类悖论归于“操作悖论”，从操作的层面寻找关于这些悖论的更为简捷的解决方案，并同语义悖论做比较，从而阐明操作悖论的本质。

一、意外考试悖论

意外考试悖论（the surprise exam paradox）历史上有多个类似版本，如“突然演习悖论”、“意外绞刑悖论”和“求婚者悖论”等。意外考试悖论由哲学家奥康纳（D. J. O'Connor）于1948年正式提出，并以“实用悖论”（pragmatic paradox）称谓之[1]。几年后另一位哲学家蒯因（W. V. O. Quine）将此悖论从认知的角度重新提起[2]，引起热烈的讨论，从此意外考试悖论被作为认知悖论而受到学界的重视。

意外考试悖论是这样的：一位老师对学生宣布，在下周的五个工作日内要考试，但哪一天不确定；这位老师宣称，考试时间是不能被预测到的。

一位学生这样想：老师一定不会在下周五考试，因为如果前四天不考试的话，星期五考试就成为可预测的。如果星期五不考试，那么星期四也不会考试，因为如果前三天和星期五不考试，那么星期四考试就成为可预测的。以此类推，星期一也不会考试，因为如果后四天不考试，那么星期一考试就成为可预测的。这样，老师每一天都不会考试。然而，这又同老师关于下一周内必有考试的承诺相违背。这意味着，老师必有考试的承诺和让考试日期不可预测的承诺之间是相矛盾的。这就是意外考试悖论。

二、对悖论的一种解决

意外考试悖论的关键词是“意外”即“不可预测”，预测可分为准确预测和概率预测。这里不考虑概率预测，如下周五考试的概率是1/5，只考虑准确预测如下周五肯定考试。此外，我们还可以从时间上把预测区分为在下周之前的预测和下周每一天之前的预测。我们先考虑前者即下周之前不可准确预测考试日期。对此，老师只要采用抓阄的方法来确定考试日期，便可完全地实现他的意外考试的承诺。即使抓阄结果是下周五考试，并且学生们在下周四晚上准确预测到明天考试，但这与下周之前不可准确预测的规定并不冲突。这样，意外考试悖论便被消解了。这样的解决类似于把理发师悖论中的“本村人”改为“除我以外的本村人”，这类解决属于弱的解决方案，其特点是通过对导致悖论的条件加以限制来消除悖论。

我们再考虑后者即下周每一天之前都不可准确预测考试日期。上面那种抓阄的方法对于下周前四天考试是适用的，但对于下周五考试似乎不适用，因为在下周五之前的周四晚上学生们可以准确预测明天考试。于是，我们不妨把上面的抓阄方法做一些改变即：在下周之前抓阄来决定下周哪一天考试，如果抓阄结果是下周五考试，那么增加一次抓阄来决定下周五是否考试。这样，下周进行一次不可准确预测日期的考试便可以实施了。

意外考试悖论的出现依赖于对下周五考试之可能性的排除，但是，对于这里所说的两次抓阄的方法而言，下周五考试的可能性是不能被排除的，因为直到下周四晚上，下周五仍有两种可能性，即考试或不考。由于有这两种可能性，直到下周四晚上学生们仍然不能准确预测明天是否考试。意外考试悖论就此而被解决或消除。

对于上面给出的解决方案，需要强调的一点是，即使第二次抓阄结果是下周五不考试，也是对意外考试规定的一种实施。为说明其理由，我们有必要做更为深入的讨论，包括对“悖论”或“矛盾命题”作一些分类，并同著名的说谎者悖论和理发师悖论相比较。

三、几种不同的矛盾命题

矛盾命题可以分为一阶和二阶，并且命题可以区分为客观描述命题和主体操作命题。例如，“张三出生于北京并且张三不出生于北京”是一个一阶的客观描述的矛盾命题，该命题无疑是假的。与之不同，一个人M说“我此刻说的这句话是假的”，这是著名的“说谎者悖论”，该悖论则是一个二阶的客观描述悖论。具体地说，如果“我此刻说的这句话是假的”这句话是真的，由于这里的“我”是M，因此这句被M说出的话是假的。如果这句话是假的，它符合M的断言，而M的断言正是这句话，所以这句话是真的。二阶客观描述的矛盾命题是关于一句话既真又假的矛盾，因此，这句话是无意义的而不是假的，因为当说它假的时候它又真了。与之不同，一阶客观描述的矛盾命题是恒假的。

有学者强调“悖论”和“矛盾命题”之间的区别，指出只有说谎者悖论才是悖论，而“张三既出生于北京又不出生于北京”只能叫做矛盾命题，而不能叫做悖论。这些学者实际上注意到了矛盾命题的一阶与二阶之分，他们所说的悖论就是这里所说的二阶矛盾命题。在笔者看来，只要区分一阶和二阶即可，叫做“悖论”还是叫做“矛盾命题”并不重要，可以保留文献中二者通用的习惯。[3]13 [1]

我们对矛盾命题的一阶和二阶的区分对应于塔尔斯基关于对象语言和元语言的区分。正如塔斯基指出的，“…是真的”和“…是假的”是元语言谓词，而不是对象语言谓词。既然说谎者悖论涉及这些元语言谓词，故说谎者悖论属于元语言悖论。与之不同，“张三既出生于北京又不出生于北京”不涉及元语言谓词，因而只是一个对象语言的矛盾命题。

接下来，我们讨论主体操作的矛盾命题，如“张三应该去北京并且张三不应该去北京”。“张三应该去北京”和“张三不应该去北京”分别发出两个不同的操作命令，其命令的性质通过“应该”表示出来。有时表达命令的命题中没有出现“应该”，但其命令的性质可以从上下文显示出来。这个命题的矛盾性使得，张三遵守其中一个就会违反另一个，结果是此操作命令总是被违反的，或者说，此操作命令总是不可遵守的。这是一个一阶的主体操作矛盾命题。

与之不同，理发师悖论则是一个二阶主体操作的矛盾命题：S村的理发师规定：我只给不自己刮胡子的人刮胡子。这一规定对于理发师本人则成为：如果他是给自己刮胡子的，那么按照规定他不应该给自己刮胡子；当他遵守这个规定时他便成为自己不给自己刮胡子的人，按照规定他应该给自己刮胡子。然而，当他再一次遵守规定的时候，他便违反规定，因为按照规定，他此时不应该给自己刮胡子。以此循环，使得他的规定失去确定的含义因而成为无意义的，而一个无意义的规定是不可操作的。

请注意，操作不同于遵守，因为遵守意味着不违反，而违反也是一种操作。遵守和违反是互斥的，但它们都属于操作，甚至不操作本身也是一种操作，这就是操作的闭包性。理发师的规定的不可操作性使得这一规定成为可操作的，即理发师即可以给自己刮胡子，也可以不给自己刮胡子；总之，矛盾的任何一方都可以被遵守，也可以被违反，反正都是操作。至此，理发师悖论得以解决。我们可以把这种解决叫做“二阶操作性解决”，其特点是怎么做都行。

需要指出，二阶操作性解决是利用操作的闭包性而把不可操作当作一种特殊的操作，它只适合于对二阶主体操作矛盾命题的解决，因为只有二阶操作矛盾使得操作规则成为无意义的。与之不同，一阶操作矛盾命题是有意义的，正因为它有意义因而总是被违反即不可遵守的。在一阶操作矛盾命题可以消除或解决的情况下，二阶主体操作矛盾命题是不存在的，自然地，二阶操作性解决也是不必要的。即使一阶操作矛盾命题不能被消除，那也不能对它进行二阶操作性解决，因为这样的解决是文不对题的。二阶操作性解决只能用于二阶主体操作的矛盾命题。

正如“…是真的”和“…是假的”是二阶谓词（即元语言谓词），“…被遵守”和“…被违反”也是二阶谓词；一阶主体操作命题不涉及二阶谓词，相应的矛盾命题也不涉及二阶谓词，如“张三应该去北京并且张三不应该去北京”。二阶主体操作的矛盾命题则涉及二阶谓词，如理发师悖论可以这样来表述：如果理发师的规则被遵守那么它就被违反，如果该规则被违反那么它就被遵守。正如一阶客观描述的矛盾命题总是假的，一阶主体操作的矛盾命题总是被违反的。正如二阶客观描述的矛盾命题是无意义的，二阶主体操作的矛盾命题也是无意义的。不过，二阶主体操作的矛盾命题的无意义进一步导致它的不可操作性，而不操作本身就是一种操作。

意外考试悖论属于二阶的主体操作悖论，与理发师悖论属于同一类。它与理发师悖论的不同之处是，它涉及“意外”即“不可准确预测”，而“预测”是一种特殊的操作。意外考试悖论可以归结为：如果老师下周五考试，那么考试日期可以准确预测的；如果考试日期是可以准确预测的，那么按照规定下周不考试；如果下周不考试，那么考试日期是不可准确预测的，按照规定下周考试。只要下周考试就有可能在下周五考试，于是上面的推论重复进行。以上推论中的“按照规定”就是“遵守规定”，意外考试悖论相当于：如果老师的规定被遵守那么就被违反，如果它被违反那么就被遵守。这使意外考试的规定失去确定的含义因而成为无意义的，而一个无意义的规定是不可操作的。但是，这种不可操作性本身就是一种操作，即矛盾的任何一方都是可以被遵守的。于是，当第一次抓阄结果是下周五考试时，再进行一次抓阄，而无论结果是下周五考试还是不考，都是对意外考试规定的遵守。至此，意外考试悖论得以解决。

也许有人会说，既然无论怎样做都是对二阶主体操作悖论的解决，那为什么还要进行两次抓阄？如果老师在宣布他的规定后一开始就决定不考试，那就连一次抓阄都不需要了，这岂不更简单？对此，笔者的回答是：老师不考试属于二阶操作性解决的一种，而这种解决只是在二阶主体操作悖论出现的情况下才成为必要的。如果第一次抓阄结果是下周的前四天考试，那就意味着这一主体操作命题可以遵守，并不存在二阶主体操作悖论。仅当第一次抓阄结果是下周五考试时，二阶主体操作悖论才出现，只有那时才需要进行第二次抓阄，并且无论下周五考试还是不考试都是对那个二阶悖论的解决。需强调，这里否定的只是一开始就决定不考试因而连一次抓阄都不进行的方案。其实只进行一次抓阄而不进行第二次抓阄也是一种可取的方案，对此我们留待“求婚者悖论”一并讨论。

四、对“矛盾命题”的进一步澄清